[그래프] 위상 정렬

복습

• 그래프: 노드와 노드 사이에 연결된 간선 정보를 가지고 있는 자료구조 
• 서로 다른 개체가 연결되어 있다 --> 가장 먼저 그래프 알고리즘 떠올려야함.

[그래프와 트리 자료구조 비교]

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 or 무방향 그래프	방향 그래프
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 여부	루트 노트 X	루트 노드 존재
노드 간 관계성	부모와 자식 관계 없음	부모와 자식 관계
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

 

그래프의 구현 방법

 

1. 인접 행렬(Adjacency Matrix): 2차원 배열 사용

2. 인접 리스트(Adjacency List): 리스트 사용

 

노드의 개수가 V, 간선의 개수가 E인 경우 인접 행렬과 인접리스트 구현 비교

	인접행렬 이용	인접리스트 이용
간선 정보 저장	O(V^2) 메모리 공간 필요	O(E) 만큼만 필요
특정한 노드 A에서 다른 특정한 노드 B로 이어진 간선의 비용 아는 데 걸리는 시간	O(1)의 시간으로 알 수 있음	O(V)의 시간이 소요

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위상 정렬

• 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘
• 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것
• 그래프상에서 선후 관계가 있다면 위상 정렬 수행해 모든 선후 관계를 지키는 전체 순서를 계산할 수 있음

※ 진입 차수란? 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

 

위상정렬 알고리즘

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   • 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거
   • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣기

이런 방향 그래프가 있다면

진입 차수가 0인 노드를 큐에 넣고

하나씩 원소를 빼가며 진행하는 것.

위의 예시 결과는 아래와 같다.

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

위상정렬의 시간 복잡도

• 차례대로 모든 노드 확인하면서 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야함
• O(V+E)

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N개의 강의 정보가 주어졌을 때, N개의 강의에 대해 수강하기까지 걸리는 최소 시간 구하기

입력: 첫째 줄에 듣고자 하는 강의의 수 N 주어짐 / 다음 N개의 줄에 각 강의의 강의 시간과 그 강의를 듣기 위해 먼저 들어야 하는 강의들의 번호가 자연수로 주어지며 각 자연수는 공백으로 구분.

출력: N개의 강의에 대해 수강하기까지 걸리는 최소 시간 한 줄에 하나씩 출력

# 입력예시
5
10 -1
10 1 -1
4 1 -1
4 3 1 -1
3 3 -1

# 출력예시
10
20
14
18
17

from collections import deque
import copy

# 노드의 개수 입력받기
v = int(input())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
# 각 강의 시간을 0으로 초기화
time = [0] * (v + 1)

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for i in range(1, v + 1):
    data = list(map(int, input().split()))
    time[i] = data[0] # 첫 번째 수는 시간 정보를 담고 있음
    for x in data[1:-1]:
        indegree[i] += 1
        graph[x].append(i)

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = copy.deepcopy(time) # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            result[i] = max(result[i], result[now] + time[i])
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in range(1, v + 1):
        print(result[i])

topology_sort()

# 위의 코드 실행 결과 graph 변수와 indegree에 담겨있는 값
graph = [[], [2, 3, 4], [], [4, 5], [], []]
indegree = [0, 0, 1, 1, 2, 1]

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[출처] 한빛미디어- "이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬" 나동빈 저자